הרב יוסף שמשי, מחבר תוכנת "גמראור"
עקרונות בכללי הגמרא ובלשונה
מדוע חז"ל לא דייקו בחישובים מתמטיים
עירובין נז ע"א
דל ארבע דתחומין וארבע דקרנות, כמה הוי - תמניא. - תילתא הוו! - מי סברת בריבועא קאמר? בעיגולא קאמר. כמה מרובע יתר על העגול - רביע, דל רביע - פשו לה שיתא, ושיתא מעשרים וארבע ריבעא הוי.
רבינא אמר: מאי רביע - רביע דתחומין.
רב אשי אמר: מאי רביע - רביע דקרנות.
אמר ליה רבינא לרב אשי: והא סביב כתיב! - מאי סביב - סביב דקרנות. דאי לא תימא הכי, גבי עולה דכתיב +ויקרא א'+ וזרקו (בני אהרן) את הדם על המזבח סביב, הכי נמי סביב ממש? אלא מאי סביב - סביב דקרנות, הכי נמי: מאי סביב - סביב דקרנות.
אמר ליה רב חביבי מחוזנאה לרב אשי: והא איכא מורשא דקרנתא! - במתא עיגולתא. - והא ריבעוה! - אימור דאמרינן חזינן כמאן דמרבעא, רבועי ודאי מי מרבענא?
אמר ליה רב חנילאי מחוזנאה לרב אשי: מכדי, כמה מרובע יתר על העגול - רביע, הני תמני מאה שית מאה ושיתין ושבע נכי תילתא הוי! - אמר ליה: הני מילי בעיגולא מגו רבוע, אבל באלכסונא - בעינא טפי. דאמר מר: כל אמתא בריבוע - אמתא ותרי חומשי באלכסונא.
1.
בגמרא מובאים שני כללי הנדסה:
1.1
שטח מרובע שחוסם עיגול גדול ברבע מהעיגול [או נאמר, שאם נגדיל את שטח העיגול בשליש נקבל את שטח הריבוע החוסם].
1.2
אורך האלכסון מהצלע – של ריבוע – הוא פי 1.4
אלה סוגיות שקשורות לשאלת הדיוק בחשבונות אצל חז"ל.
2.
תלמוד בבלי מסכת עירובין דף יד עמוד א:
עגולה רואין אותה כאילו היא מרובעת. הא תו למה לי? - סיפא איצטריכא ליה: כל שיש בהיקפו שלשה טפחים יש בו רחב טפח. מנא הני מילי? - אמר רבי יוחנן, אמר קרא +מלכים א' ז'+: ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו עד שפתו עגל סביב וחמש באמה קומתו וקו שלשים באמה יסב אתו סביב. והא איכא שפתו! - אמר רב פפא: שפתו שפת פרח שושן כתיב ביה, דכתיב +מלכים א' ז'+ ועביו טפח ושפתו כמעשה כוס פרח שושן אלפים בת יכיל. והאיכא משהו! - כי קא חשיב - מגואי קא חשיב. תניא רבי חייא: ים שעשה
3.
תוספות מסכת עירובין דף יד עמוד א:
והאיכא משהו - משמע שהחשבון מצומצם וכן בפ"ק דב"ב (ד' יד:) גבי שני טפחים שנשתיירו בארון ששם ספר תורה מונח שהיא בהיקפה ששה טפחים ופריך כיון דלאמצעיתו נגלל נפיש ליה משני טפחים וכן בתר הכי דמשני בספר דעזרה לתחלתו נגלל ופריך אכתי תרי בתרי היכי יתיב משמע דמצומצם לגמרי וקשיא דאין החשבון מדוקדק לפי חכמי המדות.
4.
ושם, ה"שוטנשטיין" הערה 30 מביא:
הרא"ש - בתשובות - שואל מה שייך לשאול "מנא הני מילי" על פעולת חישוב, ויש מיישבים שהרי החישוב של 1:3 לא מדוייק, ולכן המשנה שם קבעה שלעניין הלכה מותר להסתמך על יחס של 1:3.
5.
וכן דומה:
רמב"ם על משנה מסכת עירובין פרק א משנה ה:
[ה] צריך אתה לדעת שיחס קוטר העיגול להקפו בלתי ידוע, ואי אפשר לדבר עליו לעולם בדיוק, ואין זה חסרון ידיעה מצדנו כמו שחושבים הסכלים, אלא שדבר זה מצד טבעו בלתי נודע ואין במציאותו. אבל אפשר לשערו בקירוב, וכבר עשו מומחי המהנדסים בזה חבורים, כלומר לידיעת יחס הקוטר להקיפו בקירוב ואופני ההוכחה עליו.
והקירוב שמשתמשים בו אנשי המדע הוא יחס אחד לשלשה ושביעית, שכל עיגול שקוטרו אמה אחת הרי יש בהקיפו שלש אמות ושביעית אמה בקירוב. וכיון שזה לא יושג לגמרי אלא בקירוב תפשו הם בחשבון גדול ואמרו כל שיש בהקיפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח, והסתפקו בזה בכל המדידות שהוצרכו להן בכל התורה.
6.
מחלוקת פרשנים האם מידה זו היא בין לחומרא בין לקולא [מתאים לפי הנלמד מהפסוק שזהו לימוד מוחלט ולא רק רמז] או רק לחומרא [וממילא הלימוד מהפסוק הוא רק "רמז"] ראה קצת ב"שוטנשטיין" [על דף יד עמוד א], הערה 32.
7.
וכן בסוגייתנו:
תוספות מסכת עירובין דף נז עמוד א:
כל אמתא בריבוע אמתא ותרי חומשי באלכסונא - ואין החשבון מכוון שאם תחתוך טבלא של עשר על עשר שתי וערב יהיו בה ד' טבלאות של ה' על ה' ועשה ריבוע בפנים שילך באלכסון של ארבע טבלאות תמצא בריבוע הפנימי נ' אמות על אמה שהרי הוא חציו של חיצון שהוא ק' ואם אין באלכסון של ה' אלא כמו שעולה בחשבון אמתא ותרי חומשי באלכסונא אז לא היה לו להיות בריבוע הפנימי אלא מ"ט אמות על אמה כדין ז' על ז' והאלכסון נמי של ריבוע הפנימי לא היה לו להיות עשר אלא ט' אמות וד' חומשין אלא יש מעט יותר מאמתא ותרי חומשי באלכסונא.
כאן מדובר על משפט פיתגורס הידוע שאומר שאורך האלכסון במשולש הוא השורש הריבועי של סכום הערכים של הריבועים של שתי הצלעות. וגם כאן נולד המספר האירציונאלי הראשון של שורש של המספר 2 – כאשר מדובר בריבוע של 1X1. והמדענים בכל הדורות ניסו להגיע אל המספר הקרוב ביותר לדיוק, ומדובר על מספר מספרים ענק אחרי הנקודה [בשבר עשרוני].
8.
בספר אברהם יגל יצחק ירנן עמוד לא:
לגבי הסוגיה לעיל בעירובין דף יד:
כתוב במלכים א ז:כג "ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו על שפתו עגל סביב וחמש באמה קומתו וקוה שלשים באמה יסב אתו סביב.
הכתיב קוה והקרי קו. עיין בסוגיא דעירובין דף יד א שמפרשים הקרא על פי המשנה (שם יג ב) שכל שיש בהיקיפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח.
ובתוספות שם (ד"ה והאיכא) הקשו שאין החשבון מדוקדק לפי חכמי המדות והגמרא שם מותיב ומפרק באופן שהחשבון מצומצם עיין שם.
והביאור בקושית התוספות הוא שלפי חכמי המדות היחס הוא יותר מפי שלש, אלא 3.141 ושמעתי בשם הגר"א שהכל מרומז בקרא שהכתיב קוה (בגימטריא 111) והקרי קו (בגימטריא 106) ואותו יחס שיש בין קו לקוה יש בין שלשה ל 3.141, ועולה מכוון ל 3.141 דו"ק ותשכח .
אגב, דברי הגר"א מובאים גם ב"ויקיפדיה" לעיל.
[היחס הוא 1.047
א. 3.141/3=1.047
ב. 111/106=1.047]
9.
ונראה להוסיף: אמנם כתוב בפסוק "קוה", אבל דווקא הכתיב הוא "הנסתר" והקרי ["קו"] שאותו מוציאים מהפה – הוא הגלוי והמציאותי, וכן המספר 3 הוא הגלוי ליישום, והמספר המדוייק – באופן יחסי - של 3.14 הוא "הנסתר".
10.
ואולי ניתן להוסיף [בעזרת ה' יתברך]:
בסוגייתנו מובא עניין האלכסון, והגמרא קובעת שבאלכון יש פי 1.4 מהאורך/רוחב של ריבוע [אמה ושתי חמישיות] . ותוס' מציין שלא מדוייק. מבחינה מדעית הנכון הוא שהאלכסון יהיה 1.41 [ועוד מספרים אחרי הנקודה כמו שהסברנו]
ואולי רמז גדול:
הרי האלכסון צריך להיות 1.41 . אם נצרף את 3 הספרות הנ"ל למספר 3 [של היקף מעגל ביחס לקוטר] נקבל 3.141 שמקובל כקירוב של הביטוי "פאי" [=3 + 1/7]
11.
וראוי להוסיף את דברי ה"חזון איש" שהבאנו בדף הקודם, וכנראה שיש בעניינים אלה גם סודות גדולים!
