סוכה העשויה ככבשן / הרב יעקב לויפר

פורסם במוסף 'קולמוס', משפחה

אחד הכללים הגיאומטריים המפורסמים הנמצאים בדברי חז"ל הוא הכלל "כל שיש בהקיפו שלשה טפחים – יש בו רוחב טפח" (משנה עירובין א, ה). למעשה הכלל הזה כבר מופיע במקרא, בתיאור הים שעשה שלמה המלך בבית המקדש. קוטרו של אותו ים היה עשר אמות 'משפתו אל שפתו' (מ"א ז, כג) והקיפו היה שלושים אמות, כפי שמוסר הכתוב שם "וקו שלושים באמה יסוב אותו סביב".

והנה, ידוע ומפורסם שהכלל הזה אינו אלא קירוב, שכן היחס המדוייק יותר הוא פי שלושה ושביעית, ולא שלושה בלבד. היחס המדוייק נקרא פַּאי, על שם האות היוונית שסימנה נבחר כדי לציין אותו, ולמעשה לעולם אי אפשר להגיע לדיוק מושלם של היחס הזה, מה שמכונה 'מספר אירציונאלי'. ונוהגים להסתפק בציון שלוש או ארבע ספרות לאחר הנקודה (3.1415).

היו אף כאלו שטרחו ומצאו לזה רמז נאה בלשון המקרא במלכים. שם הקרי הוא 'וְקָו', אבל הכתיב הוא 'וקוה'. האמת שהכתיב והקרי הם פשוט שני שורשים של אותה מילה. המלה 'קו' גזורה מן השורש קו"ו, והמלה 'קוה' גזורה מן השורש קו"ה. את אחותה של זו האחרונה אנו יכולים למצוא בפסוק 'תִּקְוַת חוט השני' (יהושע ב, יח) שם אין הכוונה לתקוה כפי שהיא בפינו כיום, אלא פשוט לקַו, חוט אדום.

אבל מכל מקום רמז נאה יש כאן, שכן הגימטריה של קָו היא 106, והגימטריה של 'קוה' היא 111, וכשמחלקים 111 במאה ושש, התוצאה היא 1.047 ועוד הרבה ספרות לאחר הנקודה. אם נכפיל מספר זה בשלוש, נקבל מספר דומה לפאי בדיוק של ארבע ספרות אחר הנקודה, כלומר 3.1415 [לאחר מכן נוצר הפרש, אבל זה הפרש זניח מאוד].

מדוע נקטו חכמים את הקירוב של 'כל שיש בהקיפו שלשה' ולא נקטו 'שלושה ושביעית' לכל הפחות, שאמנם גם זה קירוב אבל בכל אופן זה יותר מדויק? התשובה היא שבדרך כלל במספרים קטנים אין הבדל כל כך גדול, וחכמים נקטו דרך המקלה על החישובים.

נוסיף רק שמסתבר לומר שהיקף הים שעשה שלמה היה באמת בדיוק שלושים אמה, והנביא 'עיגל' את הקוטר ולא את ההיקף. שכן אם נניח שהקוטר היה בדיוק עשר אמות, נמצא שההיקף היה שלושים ואחת אמות ושתי חמישיות האמה [ומעט יותר], וזה כבר הפרש שקשה להתעלם ממנו. אבל אם נניח שההיקף היה מדוייק, נצטרך להפחית מהקוטר מעט פחות מחצי האמה, אמנם גם זה הפרש, אבל קטן יותר.

בנוסף לכך: לא לחינם מציין הנביא את הקוטר וההיקף של הים, הוא לא בא ללמד אותנו שיעור בגיאומטריה. הסיבה היא כי המידה החשובה של הכלי היתה הקוטר, אך את הקוטר קשה למדוד משום שצריך למתוח קו משתי נקודות אמצע המכוונות בדיוק זו מול זו, דבר שקשה מאוד למצוא בכלי עגול. לפיכך הדרך הנוחה הרבה יותר היא למדוד את ההיקף, ולהגיע לקוטר מתוך חישוב. כך גם מנסחת המשנה את הכלל שלה: כל שיש בהקיפו שלשה – יש בו רוחב טפח. לפיכך מסתבר שהמדידה שנעשתה היתה בהיקף, וממנו הוסק הקוטר, ולא שמדדו גם את הקוטר.

שיטת רבי יוחנן בסוכה העשויה ככבשן

והנה יש לנו דבר מעניין. יתכן שדווקא חישובו של הַפַּאי המדוייק, יסביר לנו מימרא תמוהה של רבי יוחנן המופיעה במסכת סוכה (דף ז:), שם כתוב כך: "אמר רבי יוחנן: סוכה העשויה ככבשן, אם יש בהקיפה כדי לישב בה עשרים וארבעה בני אדם - כשרה, ואם לאו – פסולה".

הגמרא על אתר מסבירה שהחשבון בנוי על כך שמקום מושבו של אדם תופס אמה, 'גברא – באמתא יתיב'. לפיכך רבי יוחנן מצריך בעצם סוכה שהקיפה הוא עשרים וארבע אמות. ומה הסיבה לכך? שכן רבי יוחנן נוקט כשיטת רבי שסוכה צריכה שיהיו בשטחה ארבע על ארבע אמות. וריבוע כזה שכל אחת מצלעותיו ארבע אמות, אינו נכנס אלא בסוכה שהקיפה הוא 24 אמות, כך סובר רבי יוחנן.

האמנם? ובכן, הגמרא מבררת זאת על ידי שימוש בכלל שהזכרנו בתחילת דברינו: כל שיש בהקיפו שלשה טפחים, יש בו רוחב טפח. אם כן קוטרה של סוכה זו הוא שמונה אמות. נמצא שריבוע החסום בתוך סוכה זו, אורך אלכסונו הוא שמונה אמות. כאן משתמשת הגמרא בכלל גיאומטרי אחר – אף הוא דרך קירוב – "כל אמתא בריבועא, אמתא ותרי חומשי באלכסונא", נמצא שריבוע שאורך צלעו ארבע אמות, יהיה אלכסונו ארוך בעוד שמונה חומשי האמה בנוסף על הארבע. כלומר, חמש אמות ושלושה חומשי אמה. אין צורך שקוטר הסוכה יהיה שמונה אמות אלא מספיק חמש אמות ושלושה חומשים. אם נכפיל זאת בשלוש [לפי היחס בין קוטר העיגול להקיפו] נקבל שהיקף הסוכה צריך להיות שבע עשרה אמות פחות חומש. איך הגיע רבי יוחנן לעשרים וארבע אמות?

לפיכך מסיק רב אסי שכשאמר רבי יוחנן 'סוכה שיש בהיקפה כדי לישב בה עשרים וארבעה בני אדם', לא התכוון שהם יושבים בתוך הסוכה, אלא מחוץ לסוכה. הבה נדמיין לנו מעגל של עשרים וארבעה בני אדם, שכל אחד מהם תופס אמה מרובעת, כי 'גברא באמתא יתיב', ובתוכם כלואה הסוכה שלנו. כמה הוא קוטר הסוכה? ובכן, מכיון שאנו יודעים כי היקף מעגל האנשים הוא עשרים וארבע אמות, וקוטרו הוא שמונה אמות, הרי שאנו צריכים להוריד שתי אמות מן הקוטר. כי ההיקף הזה כולל את האנשים בתוכו, ואילו הקוטר שאנו צריכים הוא קוטר הסוכה שנמצאת בתוך טבעת האנשים שעוביה אמה. נמצא שרבי יוחנן התכוון לסוכה שיש בקוטרה שש אמות והקיפה שמונה עשרה, ולא שקוטרה שמונה והקיפה עשרים וארבע כמו שחשבנו בתחילה.

שואלת הגמרא: עדיין לא הוזקק רבי יוחנן אלא לסוכה שהקיפה שבעה עשר טפחים פחות חומש, כדי שקוטרה יהיה שליש מזה דהיינו חמש אמות ושלושה חומשים [שהרי זהו האלכסון של ארבע אמות]. מדוע חישב זאת רבי יוחנן כך שההיקף יהיה שמונה עשרה? על כך עונה הגמרא שרבי יוחנן העדיף לנקוט מספר עגול, והעיגול הוא לחומרא כך שאין כאן מכשול.

תירוצה של הגמרא דחוק מאוד, שכן רבי יוחנן יכל לומר שמספיק כי עשרים ושלושה בני אדם ישבו בהיקף הסוכה, ועדיין החשבון יהיה בסדר. בשלמא אם רבי יוחנן היה נוקט את מידת הקוטר, היה אפשר להבין שהוא מעדיף לנקוט מספר שלם (שש) במקום מספר שבור (חמש ושלושה חומשים), אבל הוא ממילא נקט את ההיקף ולא את הקוטר, מדוע עשרים וארבע הוא מספר עגול יותר מעשרים ושלוש?

וכאן מראה רבי שמעון בר צמח דוראן, בשו"ת 'תשב"ץ' שלו (סימן קסה) דבר נפלא! אם נניח שרבי יוחנן נקט כאן את יחס הפַּאי המדוייק, ולא את הקירוב, לא נזדקק כלל לומר 'לא דק'!

הא כיצד? לפי יחס הַפַּאי המדוייק עולה כי סוכה שהקיפה 24 אמות, אין קוטרה שמונה אמות, אלא מעט פחות משבע אמות ושני שליש האמה (7.6394), נוריד מזה את 'מקום גברי' שהוא אמה לכל צד, ונשארנו עם מעט פחות מחמש אמות ושני שליש.

אלכסון של ארבע אמות לפי הכלל של 'אמתא בריבועא אמתא ותרי חומשי באלכסונא' הוא 5.6 אמות, מעט פחות משני שליש האמה. אבל באמת גם זה לא מדוייק לגמרי, ולפי האמת הוא יותר מעט, כמו שכותבים התוספות במסכת סוכה (דף ח. ד"ה כל אמתא), וההפרש הופך כבר באמת למזערי.

[למעשה יש כאן כבר 'לא דק' לקולא, כי לפי משפט פיתגורס שהוא החשבון המדוייק של 'אמתא ותרי חומשי' נמצא שאלכסון ארבע אמות הוא 5.6569 אמות, ואילו הקוטר שנשאר לנו מהסוכה העגולה אחר שניכינו את שתי האמות הוא 5.6394 אך מדובר בהפרש של פחות משתי מאיות האמה].

דברי רבי יוחנן נמצאו אפוא מדוייקים להפליא. וכעת השאלה חוזרת אל הגמרא: מדוע אם כן ביארה הגמרא את דברי רבי יוחנן באופן שהוא ממש לא מדוייק: לא רק שאין כאן 'לא דק לחומרא', אלא אפילו יש כאן 'לא דק' מזערי לקולא, אבל ודאי שצריך סוכה שמקיפים אותה עשרים וארבעה בני אדם כדי לדלות מתוכה אלכסון של ארבע אמות לאחר ניכוי 'מקום גברי'?

מוכיח מכאן התשב"ץ דבר מדהים! הגמרא ידעה שלפי ההלכה אין צורך להתחשב בַּפַּאי המדוייק או באלכסון המדוייק של אמה מרובעת, ומספיק שההלכה תתאים עם הקירוב של 'כל שיש בהקיפו שלשה טפחים יש ברחבו טפחו', ו'אמתא בריבועא אמתא ותרי חומשי באלכסונא'. לפיכך לא יתכן להסביר את דברי ר' יוחנן בכך שהוא התייחס לחישובים המדוייקים. כי הוא לא היה צריך לעשות זאת! אם לפי הקירובים מספיקה סוכה שהקיפה קטן יותר, היה רבי יוחנן צריך לפסוק לפי הקירוב – אפילו אם זה יוצא לקולא אליבא דאמת! אשר על כן הוזקקה הגמרא לתירוץ הדחוק מאוד של 'ולחומרא לא דק'.

ויש לשאול: מנין זאת לגמרא? אולי באמת משתדלים להחמיר היכן שהחשבון האמיתי מזקיק יותר מאשר החשבון המקורב? זאת מוכיח הרשב"ץ מהעובדה שהמשנה משתמשת בכלל של "כל שיש בהקיפו שלשה, יש ברחבו טפח" למרות שלפי הַפַּאי האמיתי אין ברחבו טפח. נמצא למשל שאם אנו משתמשים לצורך עירובין בקורה שיש בהקיפה ג' טפחים מחמת ההנחה שיש ברחבה טפח, הרי שיש כאן קולא ובאמת אין כאן רוחב טפח.

ואין לומר שהלכות עירובין הם דרבנן ולפיכך הקילו בהן, שהרי אותו דין קיים גם לגבי הלכות טומאה וטהרה. כי כידוע כל גג שיש בו טפח על טפח מרובע דינו כאוהל, והוא מביא את הטומאה לכל שתחתיו, וחוצץ בפני הטומאה לענין מה שנמצא מעליו. ובהתאם לזה קורה עגולה שיש בהקיפה ג' טפחים נחשבת אוהל כי אנו נוקטים שיש ברחבה טפח, ואם יש כזית מן המת תחתיה שורפים טהרות שהיו מתחתיה בצידה האחר הגם שלא נגעו בבשר המת, ולאידך מי שנמצא מעליה טהור ויכול להכנס לבית המקדש אפילו אם היה בדיוק מעל בשר המת. הרי לנו שמותר לסמוך על הקירוב של פַּאי גם במקומות שזה נוגע לאיסורים חמורים מדאורייתא. ובהכרח שכך קיבלו חכמים כי לכתחילה מותר לסמוך על הקירובים ואין ענין להגיע בזה לדיוק.

בהוכחות אלו דוחה הרשב"ץ את דעתו של המהנדס אנבלשום אפרים שרצה לבאר קשיים בסוגיות שונות מתוך ההנחה שחכמים לא סמכו על הקירובים היכן שהדבר נגע לחומרא. והתשב"ץ מוכיח לו כפי שכתבנו שאין הדבר נכון, אלא חכמים סמכו על הקירוב גם במקום שיוצאת קולא.

בסופו של דבר נשארנו אם כן בלי ביאור טוב בדברי רבי יוחנן. הגמרא מבארת אותו על ידי 'לא דק' שהוא מוקשה, כפי שכתבנו. והביאור המדוייק – נדחה על ידי הרשב"ץ. אמנם האמת היא שלכאורה דעת רבי יוחנן שונה לגמרי: הוא סבר כמו דייני דקיסרי שהיו אומרים 'עיגולא דנפיק מגו ריבועא – ריבעא, ריבועא דנפיק מגו עיגולא – פלגא'. לפי זה יוצאים דברי רבי יוחנן מדוייקים, והוא מתכוון לסוכה שקוטרה עשרים וארבע אמות ממש. דבר זה מוכח מסוגיית עירובין (דף עו.) שם אומר רבי יוחנן אותו החשבון לגבי חלון עגול, שצריך שיהא בהקיפו כ"ד טפחים כדי לקבל חלון מרובע של ד' על ד'. ושם אי אפשר לעשות את החשבון של 'מקום גברי לא חשיב' ובהכרח שדעת רבי יוחנן היא כדעת דייני דקיסרי.

שיטת דייני דקיסרי היא נושא בפני עצמו, ולא ניכנס אליה בהזדמנות זו.