האם חז"ל ידעו תנ"ך?

במסכת ע"ז ד' ד. הגמ' מספרת סיפור מעניין על רב ספרא, רבי אבהו היה משבח את רבי ספרא באוזני המינים שהוא אדם גדול ועקב כך פטרוהו ממיסים במשך 13 שנה, לאחר 13 שנה המינים ראו את רבי ספרא וביקשו ממנו שיסביר להם פסוק מספר עמוס, הוא לא ענה להסביר והם התחילו להציק ולצער אותו. רבי אבהו עבר שם ושאל אותם מדוע הם מצערים את רב ספרא? הם ענו לו שהוא שיקר עליהם באומרו שרב ספרא אדם גדול שהנה אפילו להסביר פסוק הוא לא יודע. רבי אבהו ענה להם "אימר דאמרי לכו בתנאי, בקראי מי אמרי לכו", כלומר רב ספרא אדם גדול במשנה אך לא בפסוקים. ורבי אבהו הוסיף שהוא עצמו כן יודע תנ"ך כיוון שהוא מצוי בין המינים שכנראה היו שואלים אותו מדי פעם שאלות על פסוקים.
רואים שהייתה מציאות כזאת בימי חז"ל שלפחות חלק מחז"ל לא ידעו תנ"ך. ניתן לראות תופעה זו בעוד לפחות שתי מקומות ברחבי הש"ס:

בב"ק ד' נד: רבי חנינא שואל את רבי חייא מדוע בדברות הראשונות כתוב כבד את אביך ואת אמך ולא כתוב בהם טוב (למען ייטב לך) ואילו בלוחות השניים כתוב טוב? רבי חייא ענה לו "עד שאתה שואלני למה נאמר בהם טוב שאלני אם נאמר בהן טוב, שאיני יודע"
מפה תוס' בב"ב (ד' קיג. ד"ה תרוויהו") מוכיח ש"פעמים שלא היו בקיאים בפסוקים"

בב"ב ד' ח. "רבי פתח אוצרות בשני בצורת, אמר: יכנסו בעלי מקרא, בעלי משנה, בעלי גמרא, בעלי הלכה, בעלי הגדה, אבל עמי הארץ אל יכנסו. דחק רבי יונתן בן עמרם ונכנס, אמר לו: רבי, פרנסני! אמר לו: בני, קרית? אמר לו: לאו. שנית? א"ל: לאו. אם כן, במה אפרנסך? [א"ל:] פרנסני ככלב וכעורב, פרנסיה. בתר דנפק, יתיב רבי וקא מצטער ואמר: אוי לי שנתתי פתי לעם הארץ! אמר לפניו ר' שמעון בר רבי: שמא יונתן בן עמרם תלמידך הוא, שאינו רוצה ליהנות מכבוד תורה מימיו? בדקו ואשכח, אמר רבי: יכנסו הכל"
מדייק הרש"ש- רואים שהיו בעלי משנה שאינם בעלי מקרא, שאם היו בעלי מקרא היו נכנסים כבר בקריאה הראשונה. (אם כי אפשר לדחות את הראיה ולטעון שבעלי מקרא הכוונה מומחים במקרא ולא רק יודעים בצורה בקיאותית).