זו לא הסוגיא שלנו אבל סיכמתי פה נושא שעסקתי בו בימים האחרונים והרי הוא לפניכם:

במסכת שבת דף לט ע"ב הגמרא שואלת מיהו התנא שאמר לאנשי טבריה שחמין שהוחמו בשבת אסורים ברחיצה - כלומר אבל הוחמו מבעוד יום מותרים - ואם הוחמו ביו"ט אסורים ברחיצה ומותרים בשתיה,

ועונה ר' איקא בר חנניה שלא מדובר ברחיצה, דהיינו שנכנס בגופו אל תוך המים, אלא להשתטף, מקלחת,
...הכא להשתטף בהן כל גופו עסקינן, והאי תנא הוא דתניא:
לא ישתטף אדם כל גופו בין בחמין ובין בצונן דברי ר''מ, ר''ש מתיר, ר' יהודה אומר בחמין אסור בצונן מותר.
אמר רב חסדא ... אלא אי איתמר הכי איתמר: מחלוקת בקרקע, אבל בכלי - דברי הכל אסור.
אמר רבה בר בר חנה אמר רבי יוחנן הלכה כרבי יהודה
פירש רש"י:
להשתטף. שנותן על גופו ומשתטף: והאי תנא- ר' שמעון היא, דמתיר להשתטף כל גופו בשבת בחמין שהוחמו מע''ש, והיינו דקאמר 'כחמין שהוחמו בשבת אסור' הא שהוחמו מאתמול שרי, 'ואי בי''ט - כחמין שהוחמו בי''ט ואסור ברחיצה', דאפי' בית הלל לא שרי להחם בי''ט אלא לפניו ידיו ורגליו אבל לשיטוף כל גופו לא: לא ישתטף. בשבת: בין בחמין. ואפי' הוחמו בחול : בכלי. דהרואה אומר 'היום הוחמו', ומוכחא מילתא דתולדות האור נינהו, ואתי להחם בשבת כגון נותן צונן בחמין: אבל בקרקע. כגון אמבטאות של מרחצאות והן חמי האור: מותר. דבטלי להו מתורת חמין:

הסוגיא שעסקתי היא היא מקלחת בשבת, להשתטף בלשון חכמים.
מדברי רש"י משמע לענ"ד שדברי רב חסדא על כלי וקרקע - עוסקים בחמין, אבל להשתטף בצונן - אין מגבלה. גם הרמב"ם (פרק כ"ב הלכה ג) כתב בפירוש שמותר להשתטף בצונן, וכן ברא"ש.
לעומתם במרדכי סי' ש"ג כתב בשם ר"י, שלהשתטף כל גופו בצונן - אסור, בין בקרקע בין בכלי, אבל מדובר על כלי דומיא דקרקע, דהיינו אמבטיאות , אבל כלי ממש - מותר.

מכל האמור עד פה עולה שמותר להתקלח במים קרים בשבת. אלא במהלך הדורות נוסף עוד סייג בסוגיית רחיצה בצונן:
אמנם אמרנו לעיל שמותר לרחוץ בצונן בשבת, אבל כתב מהרי"ל ותרומת הדשן שנהגו שלא לרחוץ בשבת בנהרות ובאגמים, טעם אחד שמא יבוא לידי סחיטת שערו, ושני טעמים נוספים שמא ישחה במים, וחכמים אסרו לשוט על פני המים גזירה שמא יעשה חבית של שייטין (או"ח שלט ב), וכן שמא ישיט את הקיסמים והלכלוכים שעל פני המים, (ע"ש סעיף ו). הרמ"א (סי' שכ"ו סע' ז) אמנם לא הביא מנהג זה, אבל האחרונים ובראשם המגן אברהם - הביאו גם הביאו.
ערוך השולחן החמיר מאוד:
ומנהג זה נתקבל מאבותינו ואבות אבותינו מכמה מאות שנים, והבא לפרוץ גדרן של ראשונים עליו נאמר 'פורץ גדר ישכנו נחש', דקבלנו זה כאיסור חמור לבלי לרחוץ בנהרות ובאגמים ובמעיינות בשבת כלל וכלל. (סי' שכ"ו ס"ק ח-י ובפרט סע' ט)
כשאנו בוחנים היטב את דברי האחרונים, המהרי"ל ותה"ד והמג"א והלאה, כגון ערוך השולחן הנ"ל שהבאתי, או אחרונים רבים שראוי היה להביאם כאן - כמדומה שהם לא דיברו אלא על רחיצה, כגון בנהרות באגמים ובמעיינות, כי דוקא שם שייכים כל הטעמים האלה, או אף במקווה (מג"א, משנ"ב), אבל להתקלח - לא מצאתי מקור לאסור. בפרט אם מדובר בימים חמים, ו/או האדם הזיע - בזה בודאי יש להקל ולהתיר להתקלח ובלבד שייזהר מסחיטה.